歡迎訪問 外 匯 邦 WWW.WaiHuiBang.com 　　“Kelly-formula”的本源是1956年John Kelly在美國著名的貝爾實驗室提出的，屬於概率學關於預測(期)方面的一個分支，原數學模型極為復雜，因其在對事件的預期和規避風險等理論上的先進性，凱莉准則在博彩方面的應用極為迅速地傳播起來，比如賭場的撲克游戲二十一點和歐洲盛行的賽馬、賽狗等運動，其地位同“旋轉矩陣”在數字樂透領域一樣顯赫。www.emoneybtc.com在足球博彩方面的應用主要以歐洲賠率為基礎，可以在給定賠率的情況下計算出最佳的投注額，從而使你的注碼穩定地、安全地、快速地(幾何級數)增長。

　　

 

　　kelly方程是什麼樣的?或許其真貌很少得到正確的描述，我們見到的多數是其衍生的或者簡化的，個性化的，接下來就隨外匯通金融小編一起來深度了解一下神秘的Kelly方程式吧!

　　幾種常見的凱莉方程式

　　a.

　　精明的凱莉方程式：

　　b*(e*o-1)

　　opt=----------- -----------------------------(精明方程)

　　3*(o-1)

　　由於圖片不能貼，只能用簡單拼湊了，roycaich注

　　上式具體含義如下：

　　opt = 最佳投注額(Optimized Stake Size)

　　b = 可支配的總投注額(Current bankroll)

　　o = 小數形式的賠率(Odds available in decimal format)

　　e = 取勝預期或者說預計勝率(Estimated probability)

　　b.

　　最為常見的，最多被引用的

　　p*o-1

　　b= ————-- -----------------------------(基礎方程)

　　o-1

　　p = 勝率(the probability of collecting the bet. (0 o = 含本金的賠率(the gross payoff (a multiple of stake) in case you win. (o>1))

　　b = 最佳投注額比例(gives the fraction of your current bankroll that should be wagered on that specific bet.)

　　上述公式其實也是kelly方程比較實質的一個公式，至於怎麼得出來的，後面我們再來提及，roycaich注

　　c.個人因素方程

　　另一種解釋(引用Ed Seykota 的風險管理文章中的描述)

　　The Kelly Formula

　　K = W - (1-W)/R ---------------------------------(個人因素方程)

　　K = 下一筆交易占資本比例

　　W = 歷史勝率

　　R = 報酬

　　例如銅板例子

　　K = .5 - (1 - .5)/2 = .5 - .25 = .25.

　　凱利方程式指出，最佳化的比例是 25%。

　　注意，W和R都是長期的平均數字，隨著時間，K會小小的改變。

　　--W是指你自己的歷史勝率，R是莊家開出的賠率(小數點方式的)，roycaich注

　　d.

　　一些變化的方程:

　　1/2 ,1/4kelly方程，即在應用中將投注值運用kelly方程計算得到後再乘以一個系數，即：

　　p*o-1

　　b=K × ———— -----------------------------(系數變形方程)

　　o-1

　　其中，p，o的解釋參看基礎方程所描述的含義，k為一個系數，一般而言選擇1/2,1/4這樣的系數，0這個公式在具體應用中和個人的喜好中自己選擇，後面的文章我們會來提及相關的應用和一個簡單的實例。

　　四個方程有什麼不同

　　很明顯，上面的四個方程是不同的，那麼，這四個方程有什麼不同?實際上我們可以認為基礎方程是核心，也是真正的kelly方程，這個方程告訴我們，投注的額度其實跟你自己有多少錢是沒有關系的，kelly方程只是告訴你一個比例而不是貨幣單位，眐elly方程也是跟你個人的勝率無關的--你這個人很紅場場勝利，對於一場比賽kelly方程是這樣的，你這個人很黑，十投九黑對於同樣一場比賽kelly方程還是那樣的。 系數變形方程呢，只是基礎方程的一個基本的變形，在後面我們會來討論如何應用變形方程，這個會跟莊家的期望利潤有關系。 但是在這兩個方程裡面，我想總是有人對於公式中的p，o有些不了解，實際上，這裡的o比較簡單，就是莊家開出的小數點形式的賠率(也稱之為包含本金的賠率)，p呢?p是什麼?是你個人的勝率?博彩公式賠率轉換而來的概率?mso上面看到的轉換的概率?實際上p最佳的解釋是客觀事實所可能導致的概率，你可以用泊松公式求得，你可以用elo求得，你可以個人認為(個人期望勝率)，你也可以從博彩公司的賠率轉換而來(如果你能夠有正確的公式的話，當然你也可以估算)。在後面我們再來討論怎樣理解這個東西以及如何獲得這個東西以及我個人的一點心得。

　　那麼，所謂的聰明方程是什麼呢?實際上很簡單，就是和你的資金做一個簡單的關聯，簡單到只是取了你個人資金的一個固定系數1/3，所以我個人並不認為是一個聰明的方程 。個人因素方程呢，則是如何結合你個人的勝率的，這個跟個人成績有較大的關系，又更加超脫，但是如果你不是一個具備穩定勝率的高手，那好像對你的參考意義就不大了，後面討論。

　　四個方程，從基本，到結合個人資金，到結合個人勝率，如果系統化的應用，肯定就很強啦，希望大家一起來探討如何系統性的利用這些方程，小弟我先拋磚了，大家可不要拿這磚來砸我阿。

　　kelly方程的來由

　　kelly方程就是kelly寫的一篇論文裡面的一個觀點，實際上其方程和方程的推導如下(本人的數學和英文水平有限，翻譯不對之處還請各位見諒，同時請高手們指點)：

　　博球者的資金變化取決於投資的次數和投注的選擇對象，在n次投注之後其資金的變化2^n次(2的n次方)，實際上這樣的增長變化在經濟中比較常見，其資金的增長率G，G可以用公式:

　　1 V(N)

　　G =lim - log______ ------------(資金增長公式，其中N趨無窮大，V表示本金，V(N)表示N次之後的金額)

　　N V

　　其中 是n次投注之後的資金值， 是首次資金，假設每次投資用了 比例的資金，贏了W次，輸了N次，那麼，上述方程可以轉化為：

　　G=P*log(1+L)+(1-p)log(1-L)

　　注，有更多的方程公式，由於無法貼上來，小弟只好放棄，代以更加簡化的東西了，roy注

　　這個實際上就是 的期望方程，p就是贏的概率，1-p自然是輸的概率，要想盈利，自然就是求上述公式的最大值的一向必要條件了，可以推算(俺就不詳細說了，求導就是了)出來 ，這裡說明了一個關鍵點，想盈利，必須要有50%以上的勝率，否則一切白忙活，這個是不是非常好理解呢―――這個其實也就是kelly方程裡面所隱含的告訴我們的一個道理，這裡就順便提了出來。

　　回到kelly方程本身，那麼，怎麼從資金增長方程變化到kelly方程呢?實際上如何使得G最大化了，或者我們問，在那些條件下G能夠獲得較好的期望值，到了這裡就頭大了，kelly先生的論文不是很長，推導呢俺勉強也能看懂一點，但是就是公式太多了，公式太過於難於描述了，不過還好，kelly先生還是很大方的，有興趣的朋友可以在網上找到他的論文，google一下就是了。

　　這樣的一些公式推導或許對很多人來講都是比較困難的，索性我們不關注這個，我把我自己的留意點說說，公式推導當中我們必須假定：莊家給出的賠率是根據事實的可能概率來制定的，即 p*o=1 但是很顯然，莊家從來不會給出一個p是可以通過o簡單的計算得到的。Kelly在文中提到，如果把o當作是莊家給出的"公平賠率"，那麼，我們倒是可以得到一個結果，那就是是的最大化資金方程得到最小值，即歸0。嘿嘿，這裡面就比較搞了，文中要求的是需要有一個公平的p，但是不希望有一個公平的o;這兩者矛盾嘛?不矛盾，莊家給出的總歸不是公平的o的，因為莊家知道公平的p是什麼但是莊家不會show給我們看，這裡就告訴我們，如果僅僅是依靠莊家給出的o 來猜測那個p或者計算那個p，多半我們會比較慘。

　　kelly還提示我們另外一個好玩的東東：在公式推導的過程中我們接受一種事實，這個事實就是每個投注的人總是忽略那些所謂的信息靈通或者內幕消息的投注的――模型可不能最大化假球之類的出現的時候的資金。這也告訴我們，如果你知道假球，恭喜你先生，你不用考慮什麼資金控制了，傾盡全部就是了，保證利益最大化。我不知道多少人看過kelly先生的這個論文和這裡面的一些提醒，但是我還未曾在其原文之外的地方看見有人給出這些信息，我想，這裡面非常關鍵的一個就是，公式只是死的，不能僅僅關注公式本身，你還應該知道公式的缺陷和公式的條件。說道條件，天，還有一個重要要素，那就是假設所有的投注金額都從輸家轉移到贏家，那莊家吃什麼? 翻譯一段kelly先生的結論來和大家共享(錯誤之處請諒，最好是能夠指出幫忙糾正，先謝過了)。

　　在這裡介紹的賭徒(原文如此)是和一般的賭徒有著本質的明顯區別的(呵呵，看來是聰明博球者，roycaich自己的見解，下面在翻譯時將根據個人的理解將涉及相關的人物代稱更改為博球者和賭徒，博球者就是指合理利用kelly方程管理自己的人，賭徒就是指那些普通的) ，在每次投注的時候他期望獲得logV(V為返回資金)的最大值，其原因跟用來管理資金的方程無關，而僅僅是和log函數相關，能夠將大數定理應用於上面的該函數能夠被運用於重復投注中。假設條件不同，例如，他老婆只允許他每周投注1元並且不允許他的回報用於再投資，那每個投注時他都期望賭資獲得最大值，在資金最大化的情況下每次都把他所有的錢投入到投注中。一種可能的情況是，如果博球者與眾不同的分配他的資金，他能夠領先於其它賭徒。――這段話我想描述了一個事實，要有條件，然後還要理解並遵守那些條件，這樣才能夠體現kelly方程的意義。Roycaich注

　　需要注意的是，這裡我們展示了某種可能，那些(采用我們的策略)管理資金的博球者的獲益將會高於那些和我們(的策略)不同、依舊對於每個接受到的符號采用固定比例來管理資金的賭徒們的獲益。如果需要，我們的投資策略可以被證明將是最為出色的，不過(文中)並沒有給出展示。

　　盡管這裡采用的模型是從實際的博彩活動中總結出來的，模型當然同樣適用於生活中的其它經濟領域。定律的必要條件在於獲利資金的可再投資性和投資資金(下注的注額)在不同投資類別下的可靈活變更性，定理的應用渠道應該和投資者實際的投資資金等現實渠道相適應。

　　總結：

　　讓我們概要的總結一下本論文的成果：如果投注者通過通訊渠道能夠投注並且每次都將通過某一實體將其一定比例的資金投入，他的資金將指數增長或者下降。如果(博彩公司的，roycaich注)賠率是和交易實體發生的可能性概率相一致的(例如，等同於可能概率的倒數)，(資金增值的)指數增長率的最大值就等同於交易的頻率;如果賠率並不公平，例如，和這個實體事件發生的概率不一致而是和其它的某些可能性概率相一致，指數增長率的最大值就會比那些的比沒有總量等於信息交易頻率的渠道先進的要大;萬一存在什麼"內幕消息"之類的事情發生，方程就棘手無策，只剩下理論上的空架子了。(這一段翻譯得不好，還要向朋友請教一下進行校對，暫時先上來，後面改，朋友們也可以指正校對)。

　　再一次提醒各位，本人水平有限，可能翻譯得不好，只是提供參考。這裡順便借用一下幾位名家的話來幫助我們理解kelly方程：

　　1)(kelly方程)將資金的增長律漸進線最大化;

　　2)漸進線式的，(kelly方程)將達到一個目標的時間最小話;

　　3)幾乎可以肯定的，(kelly方程)相對於那些有本質不同的策略而言在長期的運行中做得更好。

　　上面三句話是Hausch, Lo, and Ziemba (1994)提到的，這個應該是從學術化的角度來理解的。

　　完kelly的結論了，現在我們來討論一下這裡面的一些問題，如何應用不同的方程，如何結合投注，我想，這裡個人的觀點主要是拋磚。

　　第一個問題就是那些公式中的P了，這個到底是什麼概率呢?來看看基礎方程，第一個印象是非常直觀的，就是P*O>1,O是菠菜公司開出的賠率，這個簡單直觀的東西告訴我們，這個p是是跟o有關系的，也提醒我們，實際上p並不容易計算，kelly公式也不是輕輕易易就能夠套在我們的投注上的。實際上，我個人還是堅持認為p是一個事件即將發生的可能性概率，無他，是因為在投注活動中，球賽的結果基本上還是符合其長期的統計規律的，這點我想在 possion公式衍生出來的模型，ELO模型等等都得到了驗證，所以我在上面解釋四個公式的時候認為基礎方程中的p跟賠率相關，舉一個簡單的例子，博彩公司對於某隊獲勝的賠率是1.5，你自己的勝率是65%，那麼很明顯，無論你怎麼管理你的資金，你都無法盈利，這個例子淺顯的告訴我們，那些說什麼認為達到65%勝率的人就是高手其實是不准確的，勝率是要跟賠率相關的，也就是說如果一個人能夠在賠率達到3的情況下保持勝率40%,那他就是了不起的高手了。我想，這個就是一個非常直觀的高手定義了：所謂高手，就是能夠穩定的從這個市場上贏取利潤，並不在乎其勝率是多少，高高低低只是障眼法而已。關於這個，mso上高陽兄的看法應該是相同的，在後面會有引用。

　　回到公式的源，kelly模型裡描述是把p定義為獲得勝率的次數和總投注數的除數的，確確實實是跟個人相關的，但是他和其它人在研究的過程中采用了"fair odds"情況下的可能概率來進行的，這個更加是本質，因為如果按照那些賠率模型，都是被驗證為最後的結果跟模型的預測基本一致的。那麼我們認為用事件發生的本身可能概率來代替P也是可以接受的，但是問題是事件本身發生的可能概率如何獲取呢?從那些已經成熟的模型獲取吧，個人能力有限，資源有限，都不是什麼容易計算的東西，而且根據這個概率獲，莊家未必就肯給出符合p*o>1的o出來，操作起來也是難上加難。更為現實的情況還是借助於莊家的賠率，不要忘了，莊家能夠給出不是"公平賠率"，但是我們卻擁有我們自己的選擇權，你可以選擇接受或者不接收，這也告訴我們需要學會放棄。另外一個呢，就需要術業有專攻了，你個人的勝率可能是建立在各式各樣的賠率基礎上的，這裡實際上會誘導你采用了不准確的數據，從而導致kelly應用的崩潰，所以一個較好的方式是對於某種賠率體系，某一個比較小范圍的賠率進行跟蹤和投資，在這個較小的范圍內應用kelly方程可能可以獲得較好的結果。

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